Начальный геометрический анализ до-династической египетской вазы

	Египетская ваза
	До-династическая египетская ваза
Происхождение:	Древний Египет
Страна нахождения:	США
Возраст:	> 5000 лет
Музей:	Частная коллекция

Автор сайта UnchartedX из одноимённого YouTube-канала получил в свое распоряжение гранитную вазу (далее - объект или артефакт), относящуюся к додинастическому периоду Египта, возраст которой составляет более 5000 лет. На основе измерений этого артефакта был проведен интересный математический анализ автором сайта unsigned.io, перевод результатов которого представлены в данной статье. Выводы этих исследований наводят на размышления, связанные с возможностями той цивилизации, при которой был разработан дизайн вазы и её последующее изготовление.

С момента публикации данной статьи, мы более детально исследовали рассматриваемую вазу и разработали математическую модель, охватывающую разнообразные конфигурации и методики её проектирования. В процессе этого исследования, нам стали известны новые, интересные детали. В результате этого исследования мы также пересмотрели и уточнили некоторые начальные измерения, представленные в данной статье.

Эта статья, не будет подвергнута изменениям или дополнениям, так как она отражает наше понимание объекта на момент её публикации и документирует, какие изначальные наблюдения, позволившие нам прийти к более подходящей общей модели. Однако, внесли несколько "Замечаний из будущего" в случаях, где это было уместно, чтобы указать на расхождения между первоначальными исследованием и моделью, с которой мы в настоящее время работаем.

Более подробный и обновлённый анализ данных артефакта, в котором наглядно демонстрируются интересные закономерности и соотношения, как число 𝜋 заложены в дизайн артефакта, доступен в этой статье.

Мы также работаем над компиляцией всех наших новых исследований и текущего понимания в последующие новые статьи, которые планируем опубликовать в ближайшем будущем.

Вступительное слово

Недавно была опубликована очень точная с высоким разрешением 3D модель вазы, созданная с использованием технологии светового сканирования. Ваза предположительно относится к периоду до-династического Египта. Если это так, то это обстоятельство придает особую значимость вазы, так как её возраст составляет более 5000 лет, что является довольно удивительным утверждением, учитывая некоторые особенности самого артефакта. Структура, соотношения и углы, используемые при его создании, раскрывают интересную историю, а также позволяют нам проникнуть в удивительные аспекты дизайна и соотношений.

Из-за специфики конструкции вазы, вероятность того, что она была создана "случайным образом," составляет число приближенное к нулю. Для достижения такой точности вазу нужно было спроектировать с большой тщательностью. Даже если бы вы попытались покрыть всю поверхность Земли случайными вазами, ни одна из них не была с такой совершенной и точной, как у данного артефакта.

Когда я впервые услышал о данном объекте, меня сильно заинтересовала заявленная однородность и экстремальные допуски, с которыми он был изготовлен.

Я абсолютно не в состоянии судить о реальном возрасте объекта, но даже если он был создан вчера и создатель имел доступ к современному оборудованию с ЧПУ, это действительно удивительное изготовление. Предполагая, что заявленная точность и однородность действительны, я даже не уверен, что кто-либо в наше время мог бы сделать что-то подобное вообще с таким высоким уровнем точности до совсем недавнего времени.

Мариан Марчиш, специализирующийся на фотограмметрии и лазерном сканировании, также исследовал некоторые интересные свойства артефакта:

Отклонения менее 0,1 мм на сегментах корпуса между ручками.
Максимальная точность совпадения осей 1:4000.
В подавляющем большинстве вдоль поверхности отклонение между внутренней и внешней поверхностями составляет менее 0,1 мм.

Я сделал некоторые начальные наблюдения и геометрический анализ, связанные с артефактом, которыми я хотел бы поделиться. Некоторые вещи, которыми стали очевидными и действительно весьма поразительными. Я воздержусь от установления связей между различными фактами и оставлю читателю сделать свой вывод самостоятельно.

Примечания к измерениям

В этом начальном анализе умышленно не приняты во внимание абсолютные измерения, поскольку они не имеют непосредственного значения в данном контексте. Создатель этого артефакта, возможно, не использовал стандарты измерения, что и мы, и поэтому важными для нас являются лишь отношения размеров. Любые абсолютные измерения, представленные в данной статье, указаны в миллиметрах.

Тем не менее, интересным направлением для будущих исследований может стать попытка выяснить, какие единицы измерения действительно использовались при создании артефакта. Учитывая высокую геометрическую и математически последовательную структуру объекта, это может оказаться вполне выполнимой задачей.

Следует также отметить, что исследования проводились не непосредственно с физическим артефактом, а с его (смело можно сказать, выдающимся) цифровым аналогом, сделанным при сканировании артефакта. Во многих аспектах сканирование такого рода представляет собой более удобный способ исследования, чем на реальном объекте.

Авторское предисловие

Уже во время первого исследования стало ясно, что это действительно удивительный объект. Его однородность и точность составляющих форм за пределами точных современных станков. Возможность проводить измерения с данной цифровой копией имеет большую ценность, и мы очень благодарны команде UnchartedX за то, что они сделали анализ доступным всему миру.

Допуски, в пределах которых был изготовлен этот объект, поражают воображение. У нас доступ к технике, в которой установлен высокоточный лазерный резак с ЧПУ, и даже при помощи него невозможно создать такую практически идеальную кривизну из акрила, хотя данный артефакт был сделан из гранита - чрезвычайно твёрдого материала.

На первый взгляд данная ваза – это абсолютный шедевр планирования и выполнения работы. Она подчёркивает, что её создатели мастерски владели навыками дизайна и производства. Чем больше я смотрел и размышлял об различных особенностях артефакта, тем больше впечатления было от увиденного. Я видел очень много интересных и оригинальных вещей, созданных на дорогих 5-осевых современных станках, но во многих отношениях этот артефакт ещё более впечатляющий.

Сейчас перейдём к более техническому анализу, но считаю важным подчеркнуть, что данный артефакт действительно бесподобен в методах, которые, должно быть, использовались для его создания. Кто бы ни сделал его и когда бы это ни произошло, результат расскажет историю, которая, буквально, высечена в самом камне.

Первичные сферы в артефакте

Исходя из первичных внешних наблюдений, ясно, что у нас эллипсоидный объект. Уравнение, описывающее полную кривизну объекта, не является сразу очевидным, но оказывается, что мы можем создать по крайней мере две сферы, которые помогут ее определить.

Мы определим одну сферу, которая точно касается максимальной внешней окружности эллипсоида (за исключением ручек, к которым мы еще вернемся). Назовем ее внешней сферой. Также определим еще одну сферу, которая точно касается максимальной внутренней окружности внутренней полости объекта. Назовем ее внутренней сферой.

Внешняя и внутренняя сферы, вписанные в артефакт
Внешняя вписанная сфера
Внутренняя вписанная сфера

Эти две сферы были выровнены с максимальной точностью с вершинами сканированной сетки, что соответствует менее чем 0,05 миллиметра. Сами по себе эти две сферы мало что нам говорят, но одно очень любопытное свойство заключается в соотношении их радиусов, которое, по моим измерениям здесь, приблизительно равно 1,23 мм.

Примечание из будущего: Это не точное соотношение - наши первоначальные измерения здесь были неточны около на 0,4%.

Ручка тороид артефакта

Ручки на вазе – невероятно интересные элементы, и мне придется сдерживать себя, чтобы не написать целую книгу по этой теме. В этом контексте я постараюсь заниматься исключительно их геометрическими свойствами.

Некоторые описывают их как цилиндры, с чем я вынужден не согласиться. Фактически они являются сегментами тора, и, более того, невероятно точными.

Интересное направление, которое я еще не исследовал, заключается в том, что правая ручка кажется была повреждена, или с некоторого момента времени с ней что-то произошло, и сегмент тора, образующий левую ручку, немного повернут вокруг центральной оси объекта.

Картинка 1: Мы легко можем моделировать ручки как сегмент тора, оборачивающий всю окружность объекта.
Картинка 2: Вид тора, вписываемый в ручку артефакта.
Картинка 3: Удивительно, насколько ручки соответствует сферическому тору. Одна очень интересная особенность, заключается в том, что они имеют участки, не соответствующие базовой сфере тора. Эти участки ручек относительно короткие, но линейные соединяют тор с основным корпусом артефакта.

Расширение линейных сегментов артефакта

Когда было сделано продление, признаться я был довольно поражен, как такое продление линейных сегментов верхней части ручек создает две линии, которые пересекаются точно в вершине внешней сферы. Точно так же, продление линейных сегментов нижних частей ручек создает линии, пересекающиеся в точном центре внутренней сферы:

Отметим также факт, что угол верхних сегментов линий относительно опорной плоскости, определенной верхней частью объекта, точно равен ${\frac {2\pi }{30}}$ радиан. Аналогично, угол нижних сегментов линий точно равен ${\frac {2\pi }{13}}$ радиан.

Примечание из будущего: Эти угловые измерения были достаточно точными, но были скорректированы в нашей обновленной модели, которая лучше интегрируется с остальной частью объекта.

Эти факты, даже если брать их по отдельности, представляют собой довольно намеренную (и очень прекрасную) проектную работу.

Другие линейные сегменты артефакта

Посмотрев на вышеизложенные результаты, я начал искать более прямолинейные сегменты, которых, по сути, оказалось не так уж много в данном артефакте, созданном кем-то, кто, очевидно, предпочитал изгибы. Но, по крайней мере, удалось обнаружить еще несколько.

Это не сразу бросается в глаза, но часть верхней части основного корпуса вазы фактически представляет собой сегмент конуса без всякой кривизны. Зная угол этого сегмента, мы можем провести следующие линии:

Прежде чем продолжить, хочу отметить интересную особенность: эти линии, кажется, проходят через центральные точки отверстий в ручках. Но похоже, что с ними что-то случилось в виду возраста артефакта, и они больше не имеют своей первоначальной формы. Или, возможно, в их неровностях скрыта более интересная геометрия? Я пока не проанализировал их.

Проводя проекции линий, мы сразу видим, как начинает проявляться нечто довольно интересное. Добавим последнюю часть треугольника, образованного пересечением с предыдущими проекциями линий отрезков:

Если мои глаза меня не обманывают, то это равносторонний треугольник. Но нет, они действительно обманывают меня! Измерение говорит нам немного другую историю, и эта история на самом деле намного интереснее:

На сколько я могу измерить здесь, угол вершины равен точно 1-му радиану. Другие два, конечно, приблизительно равны 1,0708 радиана или, чтобы быть более точным, ${\frac {\pi -1}{2}}$ . Это очень удивительно. Как будто кто-то пытался сделать здесь задать интересную геометрию.

Можно сделать некоторые довольно глубокие выводы относительно способности производителей объектов обеспечивать точность численных расчетов, чтобы осуществить это. Но сейчас я собираюсь устоять перед этим искушением и вернуться к рассматриваемой теме. Необходимо обратить внимание читателей на тот факт, что, насколько нам сейчас известно, никто на земле не имел алгоритмического метода вычисления произвольных десятичных знаков числа $\pi$ где-то примерно до 250 г. до н.э. Кроме того, первые настоящие таблицы синусов и косинусов появились примерно 750 лет спустя и были созданы индуистскими математиками около 500 года нашей эры.

Кстати, я думаю, что нижняя сторона этого треугольника совпадает с тем местом, где изначально находилось дно артефакта (сейчас оно разрушилось). Если вы внимательно рассмотрите внутреннюю часть, вы увидите, что дно полости, по сравнению с остальной частью объекта, нехарактерно неровное. Выглядит так, будто оно было повреждено, изношено или изменено со временем. По крайней мере, мы можем рассматривать эту линию как плоскость дизайна внутренней полости.

Примечание из будущего: Предполагаю, что внутреннее дно повреждено, кажется не слишком убедительным объяснением того, почему фактический дно отклоняется от геометрической плоскости, определенной пересечениями.

Если мы добавим биссектрису к геометрии и протянем ее вверх до тех пор, пока неровности не исчезнут вдоль стены, это место совпадет с плоскостью, обозначенной нижней частью треугольника. Это может быть верным или нет, но для этого начального анализа я буду считать, что дно внутренней полости изначально совпадало с нижней частью треугольника.

Выявление золотого сечения

Во время исследования и исследования соотношений размеров ожидалось, что золотое сечение будет присутствовать в данном артефакте, и оно было найдено. Используя вновь данные найденного исходного дна внутренней полости артефакта, теперь можем вычислить соотношение между общей глубиной полости и ее максимальным диаметром:

${\frac {110.908}{68.5449}}=1.61803431036=\varphi$

Другими словами - значение $\varphi$ в данном случае совпадает до десятитысячной фактического значения числа золотого сечения.

Лично мне кажется, что это действительно важный момент. Тот, кто создал этот объект, обладал глубоким пониманием математики и геометрии. На самом деле, сейчас я готов утверждать, что этот объект нельзя было создать просто так, так сказать "наугад". Здесь проведена очень тщательная разработка и изготовление артефакта.

Золотое сечение фактически появляется как минимум еще один раз внутри объекта, это можно заметить на первом изображении этой статьи. Это значение проявляется с абсолютно потрясающей точностью, с отклонениями порядка 0,05 миллиметра от фактического числа.

Из этого можно уже сделать заключение, какими методами и инструментами был спроектирован данный артефакт, но я пообещал не делать слишком много выводов, по крайней мере, на данный момент.

Внешний треугольник артефакта

После тщательного анализа внутреннего треугольника, образованного предыдущими линиями, становится ясно, что существует еще один треугольник. Создавая линии, которые соединяются как с краями объекта, так и с ручками, мы получаем еще один треугольник, почти идентичный внутреннему:

Эта особенность треугольника представляет собой интересный факт: длина его нижнего сегмента точно в два раза больше диаметра внешней сферы или, другими словами, максимального диаметра тороида.

Последующее исследование артефакта

Изначальный геометрический анализ этого удивительного объекта оказался чрезвычайно увлекательным и, мягко говоря, захватывающим. Для первоначального исследования, по всей видимости, этого обзора будет достаточно, однако я обязательно продолжу изучение объекта с более тщательным подходом. Проведение данного исследования явно предоставило много материала для последующих размышлений.

Уже сейчас я обнаружил несколько дополнительных интересных особенностей, которые, к сожалению, не успел включить в статью. Например, радиальное завершение шаблона ${\frac {2\pi }{13}}$ , выявленное в проекции ручки, представляет собой еще одну интересную характеристику артефакта. При более внимательном рассмотрении представленной диаграммы сразу бросаются в глаза несколько других, дополнительных очевидных направлений для последующего исследования.

Мне кажется, что в этом артефакте можно обнаружить множество других интересных деталей. Однако на данный момент для меня становится явным факт, что форма артефакта больше указывает на некую математическую карту, чем обычную вазу.

Некоторые выводы

Исходя из вышеизложенного исследования можно сделать следующие выводы:

Высокая степень точности: Данный артефакт, принадлежащий додинастическому периоду Египта, имеющий возраст более 5000 лет, обладает высокой степенью точности в своей конструкции, включающий в себя минимальные отклонения поверхностей, геометрических форм и их симметричности.
Использование математических моделей: Проведенное исследование с применением математических методов выявило некоторые интересные и уникальные геометрические особенности и тщательный математический подход к созданию данного артефакта.
Золотое сечение: В артефакте заложены золотое сечение, математические и геометрические модели, что указывает на обширные знания и возможности в проектировании и изготовлении артефакта.
Изготовление артефакта: Данный артефакт изготовлен из розового гранита — очень твёрдого материала, что представляет огромную техническую сложность в его создании с заложенными точными характеристиками, симметрией и пропорциями.

Приглашаем к обсуждению данной статьи на странице обсуждения, где Вы можете оставить свои комментарии. Продолжение исследования можно прочитать в этой статье.

Используемые источники

Оригинальная статья: Initial Geometric Analysis of The Pre-Dynastic Vase
Исходная страница с данными исследования: Vase Scan Resources

Исходные файлы исследования

Характеристики артефакта
Отсканированная 3D модель артефакта: файл 1, файл 2