Начальный геометрический анализ до-династической египетской вазы

Гранитная ваза PV001

Ваза PV001, также известная как OG Vase

Происхождение:

Египет (атрибуция)

Страна нахождения:

США

Возраст:

Приписывается II–III династиям, около 2900–2600 годов до н. э.; датировка не подтверждена данным анализом

Музей:

Частная коллекция

В данной статье представлен перевод первоначального исследования Марка Квиста (Mark Qvist), опубликованного на сайте unsigned.io 24 февраля 2023 года. Автор анализировал цифровую модель гранитной вазы, данные сканирования которой были опубликованы проектом UnchartedX. В последующих материалах этот предмет обозначается как PV001 или OG Vase.

В первоначальной публикации ваза описывалась как предположительно додинастическая. В более позднем отчёте PV001 и на странице Artifact Foundation приводится другая атрибуция: Египет, II–III династии, около 2900–2600 годов до н. э. Археологическое место находки в отчёте указано как неизвестное. Это сведения об атрибуции предмета, а не датировка, установленная геометрическим исследованием.

Редакционное обновление — 4 ноября 2026 года.

Ниже сохранены изложение от первого лица и оценки автора на момент первоначальной публикации. Слова «недавно», «в дальнейшем» и обещания продолжить работу относятся к 2023 году. Добавленные самим автором «примечания из будущего» обозначены как позднейшие примечания автора; редакционные пояснения выделены отдельно.

16 сентября 2025 года в предисловии к последующей статье Abstractions Set In Granite Квист признал ошибочной предложенную в ней систему взаимосвязанных радиусов — Radial Traversal Pattern, основанную на $R(n)={\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)}^n$, — и сообщил, что это существенно меняет связанные вероятностные выводы. Этот пересмотр относится к модели из последующей статьи. Его не следует отождествлять с опровержением всех отдельных наблюдений первоначального текста.

При этом автор продолжал считать отношения, близкие к $\pi$ и $\phi$, подтверждёнными. В том же предисловии он высказал личное мнение, что предмет может быть современной копией либо ранее существовавшим предметом, позднее переработанным. Это позиция автора, а не датировка или заключение об аутентичности, установленные настоящим переводом.

Продолжение первоначального исследования переведено в статье «Геометрический анализ до-династической египетской вазы». При чтении продолжения следует учитывать приведённое выше обновление оригинала. Позднейшая проверка ряда утверждений по данным компьютерной томографии опубликована в статье Stine Gerdes Revisiting Old Findings: A Journey Through Precision and Time.

Далее следует перевод первоначального текста Марка Квиста с отдельно отмеченными редакционными пояснениями.

Вступительное слово

Недавно была опубликована высокоточная 3D-модель вазообразного объекта, полученная методом структурированного светового сканирования. Предполагается, что объект относится к додинастическому Египту. Если это так, то это придаёт объекту особую значимость, так как его возраст составляет более 5000 лет, что является довольно удивительным утверждением, учитывая некоторые особенности самого артефакта. Соотношения и углы, использованные при создании объекта, раскрывают интересную историю, а также позволяют увидеть любопытные особенности его замысла и изготовления.

Из-за специфики конструкции вазы вероятность того, что такая конфигурация возникла случайно, чрезвычайно мала. Для достижения такой точности вазу нужно было спроектировать с большой тщательностью. Даже если бы вы попытались покрыть всю поверхность Земли случайными вазами, ни одна из них не обладала бы настолько точной и согласованной конфигурацией, как данный артефакт.

Примечание редакции (4 ноября 2026 года). Это сравнение передаёт первоначальную интерпретацию автора. В данной статье не изложены воспроизводимая модель случайных форм и процедура учёта выбора проверяемых совпадений. Поэтому приведённое сравнение нельзя само по себе использовать как установленную вероятность происхождения предмета. Позднее автор сообщил о существенном пересмотре связанных вероятностных рассуждений.

• 

Симметричность вазы относительно вертикальной оси

Когда я впервые услышал о данном объекте, меня сильно заинтересовала заявленная однородность и крайне малые допуски, с которыми он был изготовлен.

Я абсолютно не в состоянии судить о реальном возрасте объекта, но даже если он был создан вчера и создатель имел доступ к современному оборудованию с ЧПУ, это всё равно было бы выдающимся образцом изготовления. Предполагая, что заявленная точность и однородность действительны, я даже не уверен, что кто-либо в наше время мог бы создать нечто подобное с таким уровнем точности до сравнительно недавнего времени.

Мариан Марчиш, специализирующийся на фотограмметрии и лазерном сканировании, также исследовал некоторые интересные свойства артефакта:

• Отклонения менее 0,1 мм на сегментах корпуса между ручками.
• Относительная точность соосности в худшем из рассмотренных случаев — 1:4000.
• В подавляющем большинстве исследованных выборок отклонение от соосности внутренней и наружной поверхностей составляет менее 0,1 мм.

Примечание редакции (4 ноября 2026 года). В двух последних пунктах речь идёт о согласовании осей геометрических элементов. Эти величины не описывают толщину стенки или расстояние между внутренней и наружной поверхностями. Перевод терминов уточнён по английскому оригиналу.

Я сделал некоторые начальные наблюдения и геометрический анализ, связанные с артефактом, которыми я хотел бы поделиться. Некоторые выявленные особенности действительно выглядят весьма поразительно. Я воздержусь от связывания всех фактов в единую интерпретацию и оставлю читателю возможность сделать собственные выводы.

Примечания к измерениям

В этом начальном анализе умышленно не приняты во внимание абсолютные измерения, поскольку они не имеют непосредственного значения в данном контексте. Создатель этого артефакта, возможно, не пользовался теми же стандартами измерения, что и мы, и поэтому важными для нас являются лишь отношения размеров. Любые абсолютные измерения, представленные в данной статье, указаны в миллиметрах.

Тем не менее, интересным направлением для будущих исследований может стать попытка выяснить, какие единицы измерения действительно использовались при создании артефакта. Учитывая высокую геометрическую и математически согласованную структуру объекта, это может оказаться вполне выполнимой задачей.

Следует также отметить, что исследования проводились не непосредственно с физическим артефактом, а с его, можно сказать, выдающимся цифровым аналогом, полученным при сканировании. Во многих аспектах сканирование такого рода представляет собой более удобный способ исследования, чем наблюдение физического объекта только визуально и на ощупь.

Примечание редакции (4 ноября 2026 года). Совпадение математической поверхности с цифровой сеткой и погрешность измерения физического предмета — разные показатели. Для оценки последней необходимы сведения о калибровке, обработке и полноте сканирования. В позднейшем сравнении исходного скана структурированного света с компьютерной томографией отдельно обсуждаются пробелы внутренних данных исходной модели.

Первичные наблюдения

Уже во время первого исследования стало ясно, что это действительно удивительный объект. Однородность и точность его составляющих форм напоминают уровень, который обычно ожидаешь увидеть только в среде современного высокоточного производства. Возможность напрямую работать с цифровой копией имеет большую ценность, и мы очень благодарны команде UnchartedX за то, что они сделали анализ доступным всему миру.

Допуски, в пределах которых был изготовлен этот объект, поражают воображение. У меня есть доступ к высокоточному лазерному резаку с ЧПУ, но даже с его помощью я не смог бы создать столь близкую к идеальной кривизну из акрила, хотя данный артефакт был сделан из гранита - чрезвычайно твёрдого материала.

На первый взгляд эта ваза выглядит как демонстрационный образец исключительного мастерства. Она подчёркивает, что её создатели мастерски владели навыками дизайна и производства. Чем больше я рассматривал различные особенности артефакта, тем сильнее он меня впечатлял. Я видел очень много интересных и оригинальных вещей, созданных на дорогих 5-осевых современных станках, но во многих отношениях этот артефакт ещё более впечатляющий.

Теперь перейдём к более техническому анализу, но считаю важным подчеркнуть, что данный артефакт действительно необычен с точки зрения методов, которые, должно быть, использовались для его создания. Кто бы ни сделал его и когда бы это ни произошло, результат рассказывает историю, которая, буквально, высечена в самом камне.

Первичные сферы

Судя по первоначальным внешним наблюдениям, ясно, что перед нами эллипсоидный объект. Уравнение, описывающее полную кривизну объекта, не является сразу очевидным, но оказывается, что мы можем создать по крайней мере две сферы, которые помогут ее определить.

Мы определим одну сферу, которая точно касается максимальной внешней окружности эллипсоида (за исключением ручек, к которым мы еще вернемся). Назовём её внешней сферой. Также определим еще одну сферу, которая точно касается максимальной внутренней окружности внутренней полости объекта. Назовём её внутренней сферой.

• Внешняя и внутренняя сферы, вписанные в артефакт
• 
  Внешняя вписанная сфера
• 
  Внутренняя вписанная сфера

Эти две сферы были выровнены с максимальной точностью с вершинами сканированной сетки, что соответствует менее чем 0,05 миллиметра. Сами по себе эти две сферы мало что нам говорят, но одно очень любопытное свойство заключается в соотношении их радиусов, которое, по моим измерениям, приблизительно равно 1,23.

Позднейшее примечание автора: Это не точное соотношение: наши первоначальные измерения здесь отличались примерно на 0,4%.

Тороидальная геометрия ручек

Ручки на вазе — невероятно интересные элементы, и мне придётся сдерживать себя, чтобы не написать целую книгу по этой теме. В этом контексте я постараюсь сосредоточиться только на их геометрических свойствах.

Некоторые описывают их как цилиндры, с чем я вынужден не согласиться. Фактически они являются сегментами тора, и, более того, невероятно точными.

Интересное направление, которое я еще не исследовал, заключается в том, что правая ручка кажется была повреждена, или в какой-то момент с ней что-то произошло, и сегмент тора, образующий левую ручку, немного повернут относительно центральной оси объекта.

• 
• 
• 

• Картинка 1: Мы легко можем моделировать ручки как сегмент тора, оборачивающий всю окружность объекта.
• Картинка 2: Вид тора, вписанного в ручку артефакта.
• Картинка 3: Удивительно, насколько ручки соответствуют тороидальной форме. Одна очень интересная особенность заключается в том, что они имеют участки, не соответствующие базовой сфере тора. Эти участки ручек относительно короткие, но линейно соединяют тор с основным корпусом артефакта.

Расширение линейных сегментов артефакта

Когда были продолжены эти линии, признаться я был довольно поражен, как такое продление линейных сегментов верхней части ручек создаёт две линии, которые пересекаются точно в вершине внешней сферы. Точно так же продление линейных сегментов нижних частей ручек создаёт линии, пересекающиеся в точном центре внутренней сферы:

• 
• 

Отметим также факт, что угол верхних сегментов линий относительно опорной плоскости, определенной верхней частью объекта, точно равен $\frac{2\pi }{30}$ радиан. Аналогично, угол нижних сегментов линий точно равен $\frac{2\pi }{13}$ радиан.

Позднейшее примечание автора: Эти угловые измерения были достаточно точными, но были скорректированы в нашей обновленной модели, которая лучше интегрируется с остальной частью объекта.

Примечание редакции (4 ноября 2026 года). Формулировка «точно равен» выше передаёт исходный текст. Сам автор впоследствии скорректировал эти угловые оценки. Близость измеренного угла к выбранному математическому значению следует рассматривать вместе с неопределённостью измерения и способом выбора участка поверхности.

Эти факты, даже если брать их по отдельности, представляют собой довольно намеренную (и очень прекрасную) проектную работу.

Другие линейные сегменты

После этих наблюдений, я начал искать более прямолинейные сегменты, которых, по сути, оказалось не так уж много в данном артефакте, созданном кем-то, кто, очевидно, предпочитал изгибы. Но, по крайней мере, удалось обнаружить еще несколько.

Это не сразу бросается в глаза, но часть верхней части основного корпуса вазы фактически представляет собой сегмент конуса без всякой кривизны. Зная угол этого сегмента, можно провести следующие линии:

• 

Прежде чем продолжить, хочу отметить интересную особенность: эти линии, кажется, проходят через центральные точки отверстий ручек. Но похоже, что с ними что-то случилось в силу возраста артефакта, и они больше не имеют своей первоначальной формы. Или, возможно, в их неровностях скрыта более интересная геометрия? Я пока не проанализировал их.

Проводя проекции линий, мы сразу видим, как начинает проявляться нечто довольно интересное. Добавим последнюю часть треугольника, образованного пересечением с предыдущими проекциями линий отрезков:

• 

На первый взгляд, то это равносторонний треугольник. Однако измерения показывают, что это не так. Измерение говорит нам немного другую историю, и эта история на самом деле намного интереснее:

Насколько я могу измерить, угол вершины равен точно 1-му радиану. Другие два, конечно, приблизительно равны 1,0708 радиана или, чтобы быть более точным, $\frac{\pi -1}{2}$. Это очень удивительно. Похоже, здесь намеренно была задана необычная геометрия.

Примечание редакции (4 ноября 2026 года). Утверждение об одном радиане является результатом авторской геометрической интерпретации. Слово «точно» не задаёт само по себе неопределённость измеренного угла. Даже при близком совпадении геометрии с этой величиной из него не следует, что изготовитель пользовался радианной мерой или определёнными вычислительными методами.

Можно сделать некоторые довольно глубокие выводы относительно способности создателей объекта обеспечивать точность численных расчетов, чтобы осуществить это. Но сейчас я постараюсь устоять перед этим искушением и вернуться к рассматриваемой теме. Необходимо обратить внимание читателей на тот факт, что, насколько нам сейчас известно, никто на земле не имел алгоритмического метода вычисления произвольных десятичных знаков числа $\pi$ где-то примерно до 250 г. до н.э. Кроме того, первые настоящие таблицы синусов и косинусов появились примерно 750 лет спустя и были созданы индийскими математиками около 500 года нашей эры.

Кстати, я думаю, что нижняя сторона этого треугольника совпадает с предполагаемым исходным положением дна артефакта (сейчас оно разрушилось). Если вы внимательно рассмотрите внутреннюю часть, вы увидите, что дно полости, по сравнению с остальной частью объекта, нехарактерно неровное. Выглядит так, будто оно было повреждено, изношено или изменилось со временем. По крайней мере, мы можем рассматривать эту линию как плоскость дизайна внутренней полости.

Позднейшее примечание автора: Предположение о повреждении внутреннего дна уже не кажется слишком убедительным объяснением того, почему фактическое дно отклоняется от геометрической плоскости, определенной пересечениями.

Если добавить к геометрии биссектрису и протянем ее вверх до тех пор, пока неровности не исчезнут вдоль стены, это место совпадет с плоскостью, обозначенной нижней частью треугольника. Это может быть верным или нет, но для этого начального анализа я буду считать, что дно внутренней полости изначально совпадало с нижней частью треугольника.

Золотое сечение

При изучении пропорций ожидалось, что золотое сечение будет присутствовать в данном артефакте, и оно было найдено. Используя предполагаемое исходное положение дна внутренней полости, теперь можем вычислить соотношение между общей глубиной полости и ее максимальным диаметром:

$\frac{110.908}{68.5449}\approx 1.61803431036\approx \phi$

По крайней мере, совпадение с $\phi$ укладывается в допуски, которые я считаю достаточно хорошими.

Примечание редакции (4 ноября 2026 года). Знаки приближённого равенства в формуле уточнены редакцией. Числитель зависит от предполагаемого исходного положения внутреннего дна, описанного выше, поэтому пропорция связана с геометрической реконструкцией. Сам автор позднее выразил сомнение в объяснении положения дна его повреждением. Количество знаков после запятой в результате деления не является точностью измерения размеров; близость к $\phi$ сама по себе не доказывает намеренного использования этой константы.

• 

Лично мне кажется, что это действительно важный момент. Создатель этого объекта обладал глубоким пониманием математики и геометрии. Фактически я готов утверждать, что этот объект нельзя было создать просто так, так сказать "наугад". Здесь просматриваются тщательное проектирование и высокоточное изготовление.

Золотое сечение фактически появляется как минимум еще один раз внутри объекта, это можно заметить на первом изображении этой статьи. Это значение проявляется с абсолютно потрясающей точностью, с отклонениями порядка 0,05 миллиметра от фактического числа.

Из этого уже можно делать выводы, какими методами и инструментами был спроектирован данный артефакт, но я пообещал не делать слишком много выводов, по крайней мере, на данный момент.

Внешний треугольник

После тщательного анализа внутреннего треугольника, образованного предыдущими линиями, становится ясно, что существует еще один треугольник. Проводя линии, связанные одновременно с краями объекта и ручками, мы получаем еще один треугольник, почти идентичный внутреннему:

Эта особенность треугольника представляет собой интересный факт: длина его нижнего сегмента точно в два раза больше диаметра внешней сферы или, другими словами, максимального диаметра тороида.

• 

Последующее исследование

Изначальный геометрический анализ этого удивительного объекта оказался чрезвычайно увлекательным и, мягко говоря, захватывающим. Для первоначального исследования, по всей видимости, этого обзора достаточно, однако я обязательно продолжу изучение объекта с более тщательным подходом. Само исследование уже дало много материала для дальнейших размышлений.

Уже сейчас я обнаружил несколько дополнительных интересных особенностей, которые, к сожалению, не успел включить в статью. Например, радиальное продолжение закономерности $\frac{2\pi }{13}$, выявленное в проекции ручки, представляет собой еще одну интересную характеристику артефакта. При более внимательном рассмотрении представленной диаграммы сразу бросаются в глаза несколько других, дополнительных очевидных направлений для последующего исследования.

Кажется, в этом артефакте можно обнаружить ещё много интересных деталей. Однако на данный момент для меня становится всё более очевидным, что форма артефакта больше напоминает своего рода математическую карту, чем обычную вазу.

• 

Некоторые выводы

Редакционный комментарий. Этот раздел не входит в английский оригинал первоначальной статьи.

Первоначальный анализ привлёк внимание к выраженной геометрической регулярности предмета и предложил ряд объясняющих её моделей. При оценке этих наблюдений важно различать несколько вопросов:

• Геометрическая регулярность. Близость сечений к окружностям и согласованность осей могут исследоваться по цифровой модели. Конкретные показатели зависят от метода, выбранного участка и качества исходных данных.
• Числовые отношения. Близость измеренных пропорций к $\pi$, $\phi$ или другим значениям и намеренное использование этих констант изготовителем являются разными утверждениями. Для второго недостаточно одного совпадения.
• Пересмотр моделей. Часть первоначальных оценок была изменена самим автором. В 2025 году он также отказался от системы взаимосвязанных радиусов, предложенной в последующей статье.
• Происхождение и технология. Анализ цифровой формы сам по себе не устанавливает возраст предмета, его археологическое происхождение или конкретный способ изготовления. Неизвестное место находки и характер доступных сведений об атрибуции должны учитываться отдельно.

Приглашаем к обсуждению статьи на странице обсуждения. Продолжение перевода доступно в следующей статье; его следует читать с учётом обновления первоисточника от 16 сентября 2025 года.

Используемые источники

• Mark Qvist. Initial Geometric Analysis of The Pre-Dynastic Vase. Первоначальная статья, 24 февраля 2023 года.
• Mark Qvist. Abstractions Set In Granite. Продолжение исследования; обновление автора от 16 сентября 2025 года.
• Stine Gerdes. Revisiting Old Findings: A Journey Through Precision and Time. Позднейшая проверка ряда утверждений по данным компьютерной томографии.
• Stine Gerdes. PV001 — Tall Ovoid Jar: An Exploration of Precision. Версия 01.20, 21 июля 2025 года.
• OG Vase. Artifact Research Foundation. Сведения об атрибуции предмета.
• Vase Scan Resources. UnchartedX. Страница исходных материалов.

Исходные файлы исследования

• VASE-REPORT-METRIC.pdf — первоначальный метрический отчёт.
• Vase.stl — исходная опубликованная 3D-сетка.
• Vase_fixed.stl — версия, исправленная для 3D-печати. На странице UnchartedX этот файл обозначен как fixed for printing. Его следует отличать от исходного скана при геометрических измерениях.