Начальный геометрический анализ до-династической египетской вазы

Автор проекта UnchartedX, связанного с одноимённым YouTube-каналом, получил в своё распоряжение гранитную вазу (далее — объект или артефакт), относящуюся к додинастическому периоду Египта, возраст которой составляет более 5000 лет. На основе измерений этого артефакта автор сайта unsigned.io провёл математический анализ; перевод его результатов представлен в данной статье. Выводы этого анализа заставляют задуматься о технических возможностях мастеров, спроектировавших и изготовивших этот предмет.

После публикации исходной статьи авторы более детально исследовали рассматриваемую вазу и разработали математическую модель, охватывающую разнообразные конфигурации и методики её проектирования. В процессе этого исследования, были получены новые интересные детали. В результате некоторые первоначальные измерения, приведённые в исходной статье, были пересмотрены и уточнены.

Исходная статья не была переписана полностью: она отражает понимание объекта на момент публикации и показывает, какие первоначальные наблюдения привели авторов к более подходящей общей модели. Однако в текст были добавлены несколько «замечаний из будущего», чтобы указать на расхождения между первоначальными наблюдениями и моделью, с которой авторы работали позднее.

Более подробный и обновлённый анализ данных артефакта, демонстрирующий закономерности и соотношения, включая возможную интеграцию числа 𝜋 в его дизайн, доступен в этой статье.

Авторы также готовят новые материалы, в которых планируют собрать последующие находки и текущее понимание геометрии объекта.

Вступительное слово

Недавно была опубликована высокоточная 3D-модель вазообразного объекта, полученная методом структурированного светового сканирования. Предполагается, что объект относится к додинастическому Египту. Если это так, то это придаёт объекту особую значимость, так как его возраст составляет более 5000 лет, что является довольно удивительным утверждением, учитывая некоторые особенности самого артефакта. Соотношения и углы, использованные при создании объекта, раскрывают интересную историю, а также позволяют увидеть любопытные особенности его замысла и изготовления.

Из-за специфики конструкции вазы вероятность того, что такая конфигурация возникла случайно, чрезвычайно мала. Для достижения такой точности вазу нужно было спроектировать с большой тщательностью. Даже если бы вы попытались покрыть всю поверхность Земли случайными вазами, ни одна из них не обладала бы настолько точной и согласованной конфигурацией, как данный артефакт.

Когда я впервые услышал о данном объекте, меня сильно заинтересовала заявленная однородность и крайне малые допуски, с которыми он был изготовлен.

Я абсолютно не в состоянии судить о реальном возрасте объекта, но даже если он был создан вчера и создатель имел доступ к современному оборудованию с ЧПУ, это всё равно было бы выдающимся образцом изготовления. Предполагая, что заявленная точность и однородность действительны, я даже не уверен, что кто-либо в наше время мог бы создать нечто подобное с таким уровнем точности до сравнительно недавнего времени.

Мариан Марчиш, специализирующийся на фотограмметрии и лазерном сканировании, также исследовал некоторые интересные свойства артефакта:

Отклонения менее 0,1 мм на сегментах корпуса между ручками.
Максимальная точность совпадения осей 1:4000.
В подавляющем большинстве отклонение между внутренней и внешней поверхностями составляет менее 0,1 мм.

Я сделал некоторые начальные наблюдения и геометрический анализ, связанные с артефактом, которыми я хотел бы поделиться. Некоторые выявленные особенности действительно выглядят весьма поразительно. Я воздержусь от связывания всех фактов в единую интерпретацию и оставлю читателю возможность сделать собственные выводы.

Примечания к измерениям

В этом начальном анализе умышленно не приняты во внимание абсолютные измерения, поскольку они не имеют непосредственного значения в данном контексте. Создатель этого артефакта, возможно, не пользовался теми же стандартами измерения, что и мы, и поэтому важными для нас являются лишь отношения размеров. Любые абсолютные измерения, представленные в данной статье, указаны в миллиметрах.

Тем не менее, интересным направлением для будущих исследований может стать попытка выяснить, какие единицы измерения действительно использовались при создании артефакта. Учитывая высокую геометрическую и математически согласованную структуру объекта, это может оказаться вполне выполнимой задачей.

Следует также отметить, что исследования проводились не непосредственно с физическим артефактом, а с его, можно сказать, выдающимся цифровым аналогом, полученным при сканировании. Во многих аспектах сканирование такого рода представляет собой более удобный способ исследования, чем наблюдение физического объекта только визуально и на ощупь.

Первичные наблюдения

Уже во время первого исследования стало ясно, что это действительно удивительный объект. Однородность и точность его составляющих форм напоминают уровень, который обычно ожидаешь увидеть только в среде современного высокоточного производства. Возможность напрямую работать с цифровой копией имеет большую ценность, и мы очень благодарны команде UnchartedX за то, что они сделали анализ доступным всему миру.

Допуски, в пределах которых был изготовлен этот объект, поражают воображение. У автора есть доступ к высокоточному лазерному резаку с ЧПУ, но даже с его помощью невозможно создать столь близкую к идеальной кривизну из акрила, хотя данный артефакт был сделан из гранита - чрезвычайно твёрдого материала.

На первый взгляд эта ваза выглядит как демонстрационный образец исключительного мастерства. Она подчёркивает, что её создатели мастерски владели навыками дизайна и производства. Чем больше я рассматривал различные особенности артефакта, тем сильнее он меня впечатлял. Я видел очень много интересных и оригинальных вещей, созданных на дорогих 5-осевых современных станках, но во многих отношениях этот артефакт ещё более впечатляющий.

Теперь перейдём к более техническому анализу, но считаю важным подчеркнуть, что данный артефакт действительно необычен с точки зрения методов, которые, должно быть, использовались для его создания. Кто бы ни сделал его и когда бы это ни произошло, результат рассказывает историю, которая, буквально, высечена в самом камне.

Первичные сферы

Судя по первоначальным внешним наблюдениям, ясно, что перед нами эллипсоидный объект. Уравнение, описывающее полную кривизну объекта, не является сразу очевидным, но оказывается, что мы можем создать по крайней мере две сферы, которые помогут ее определить.

Мы определим одну сферу, которая точно касается максимальной внешней окружности эллипсоида (за исключением ручек, к которым мы еще вернемся). Назовём её внешней сферой. Также определим еще одну сферу, которая точно касается максимальной внутренней окружности внутренней полости объекта. Назовём её внутренней сферой.

Внешняя и внутренняя сферы, вписанные в артефакт
Внешняя вписанная сфера
Внутренняя вписанная сфера

Эти две сферы были выровнены с максимальной точностью с вершинами сканированной сетки, что соответствует менее чем 0,05 миллиметра. Сами по себе эти две сферы мало что нам говорят, но одно очень любопытное свойство заключается в соотношении их радиусов, которое, по моим измерениям, приблизительно равно 1,23.

Примечание из будущего: Это не точное соотношение: наши первоначальные измерения здесь отличались примерно на 0,4%.

Тороидальная геометрия ручек

Ручки на вазе — невероятно интересные элементы, и мне придётся сдерживать себя, чтобы не написать целую книгу по этой теме. В этом контексте я постараюсь сосредоточиться только на их геометрических свойствах.

Некоторые описывают их как цилиндры, с чем я вынужден не согласиться. Фактически они являются сегментами тора, и, более того, невероятно точными.

Интересное направление, которое я еще не исследовал, заключается в том, что правая ручка кажется была повреждена, или в какой-то момент с ней что-то произошло, и сегмент тора, образующий левую ручку, немного повернут относительно центральной оси объекта.

Картинка 1: Мы легко можем моделировать ручки как сегмент тора, оборачивающий всю окружность объекта.
Картинка 2: Вид тора, вписанного в ручку артефакта.
Картинка 3: Удивительно, насколько ручки соответствуют тороидальной форме. Одна очень интересная особенность заключается в том, что они имеют участки, не соответствующие базовой сфере тора. Эти участки ручек относительно короткие, но линейно соединяют тор с основным корпусом артефакта.

Расширение линейных сегментов артефакта

Когда были продолжены эти линии, признаться я был довольно поражен, как такое продление линейных сегментов верхней части ручек создаёт две линии, которые пересекаются точно в вершине внешней сферы. Точно так же продление линейных сегментов нижних частей ручек создаёт линии, пересекающиеся в точном центре внутренней сферы:

Ошибка создания миниатюры:

Отметим также факт, что угол верхних сегментов линий относительно опорной плоскости, определенной верхней частью объекта, точно равен $\frac{2 π}{30}$ радиан. Аналогично, угол нижних сегментов линий точно равен $\frac{2 π}{13}$ радиан.

Примечание из будущего: Эти угловые измерения были достаточно точными, но были скорректированы в нашей обновленной модели, которая лучше интегрируется с остальной частью объекта.

Эти факты, даже если брать их по отдельности, представляют собой довольно намеренную (и очень прекрасную) проектную работу.

Другие линейные сегменты

После этих наблюдений, я начал искать более прямолинейные сегменты, которых, по сути, оказалось не так уж много в данном артефакте, созданном кем-то, кто, очевидно, предпочитал изгибы. Но, по крайней мере, удалось обнаружить еще несколько.

Это не сразу бросается в глаза, но часть верхней части основного корпуса вазы фактически представляет собой сегмент конуса без всякой кривизны. Зная угол этого сегмента, можно провести следующие линии:

Прежде чем продолжить, хочу отметить интересную особенность: эти линии, кажется, проходят через центральные точки отверстий ручек. Но похоже, что с ними что-то случилось в силу возраста артефакта, и они больше не имеют своей первоначальной формы. Или, возможно, в их неровностях скрыта более интересная геометрия? Я пока не проанализировал их.

Проводя проекции линий, мы сразу видим, как начинает проявляться нечто довольно интересное. Добавим последнюю часть треугольника, образованного пересечением с предыдущими проекциями линий отрезков:

На первый взгляд, то это равносторонний треугольник. Однако измерения показывают, что это не так. Измерение говорит нам немного другую историю, и эта история на самом деле намного интереснее:

Насколько я могу измерить, угол вершины равен точно 1-му радиану. Другие два, конечно, приблизительно равны 1,0708 радиана или, чтобы быть более точным, $\frac{π - 1}{2}$ . Это очень удивительно. Похоже, здесь намеренно была задана необычная геометрия.

Можно сделать некоторые довольно глубокие выводы относительно способности создателей объекта обеспечивать точность численных расчетов, чтобы осуществить это. Но сейчас я постараюсь устоять перед этим искушением и вернуться к рассматриваемой теме. Необходимо обратить внимание читателей на тот факт, что, насколько нам сейчас известно, никто на земле не имел алгоритмического метода вычисления произвольных десятичных знаков числа $π$ где-то примерно до 250 г. до н.э. Кроме того, первые настоящие таблицы синусов и косинусов появились примерно 750 лет спустя и были созданы индийскими математиками около 500 года нашей эры.

Кстати, я думаю, что нижняя сторона этого треугольника совпадает с предполагаемым исходным положением дна артефакта (сейчас оно разрушилось). Если вы внимательно рассмотрите внутреннюю часть, вы увидите, что дно полости, по сравнению с остальной частью объекта, нехарактерно неровное. Выглядит так, будто оно было повреждено, изношено или изменилось со временем. По крайней мере, мы можем рассматривать эту линию как плоскость дизайна внутренней полости.

Примечание из будущего: Предположение о повреждении внутреннего дна уже не кажется слишком убедительным объяснением того, почему фактическое дно отклоняется от геометрической плоскости, определенной пересечениями.

Если добавить к геометрии биссектрису и протянем ее вверх до тех пор, пока неровности не исчезнут вдоль стены, это место совпадет с плоскостью, обозначенной нижней частью треугольника. Это может быть верным или нет, но для этого начального анализа я буду считать, что дно внутренней полости изначально совпадало с нижней частью треугольника.

Золотое сечение

При изучении пропорций ожидалось, что золотое сечение будет присутствовать в данном артефакте, и оно было найдено. Используя предполагаемое исходное положение дна внутренней полости, теперь можем вычислить соотношение между общей глубиной полости и ее максимальным диаметром:

$\frac{110.908}{68.5449} = 1.61803431036 = φ$

Другими словами, значение $φ$ в данном случае совпадает с точностью до десятитысячных фактического значения золотого сечения.

Лично мне кажется, что это действительно важный момент. Создатель этого объекта обладал глубоким пониманием математики и геометрии. Фактически я готов утверждать, что этот объект нельзя было создать просто так, так сказать "наугад". Здесь просматриваются тщательное проектирование и высокоточное изготовление.

Золотое сечение фактически появляется как минимум еще один раз внутри объекта, это можно заметить на первом изображении этой статьи. Это значение проявляется с абсолютно потрясающей точностью, с отклонениями порядка 0,05 миллиметра от фактического числа.

Из этого уже можно делать выводы, какими методами и инструментами был спроектирован данный артефакт, но я пообещал не делать слишком много выводов, по крайней мере, на данный момент.

Внешний треугольник

После тщательного анализа внутреннего треугольника, образованного предыдущими линиями, становится ясно, что существует еще один треугольник. Проводя линии, связанные одновременно с краями объекта и ручками, мы получаем еще один треугольник, почти идентичный внутреннему:

Эта особенность треугольника представляет собой интересный факт: длина его нижнего сегмента точно в два раза больше диаметра внешней сферы или, другими словами, максимального диаметра тороида.

Последующее исследование

Изначальный геометрический анализ этого удивительного объекта оказался чрезвычайно увлекательным и, мягко говоря, захватывающим. Для первоначального исследования, по всей видимости, этого обзора достаточно, однако я обязательно продолжу изучение объекта с более тщательным подходом. Само исследование уже дало много материала для дальнейших размышлений.

Уже сейчас я обнаружил несколько дополнительных интересных особенностей, которые, к сожалению, не успел включить в статью. Например, радиальное продолжение закономерности $\frac{2 π}{13}$ , выявленное в проекции ручки, представляет собой еще одну интересную характеристику артефакта. При более внимательном рассмотрении представленной диаграммы сразу бросаются в глаза несколько других, дополнительных очевидных направлений для последующего исследования.

Кажется, в этом артефакте можно обнаружить ещё много интересных деталей. Однако на данный момент для меня становится всё более очевидным, что форма артефакта больше напоминает своего рода математическую карту, чем обычную вазу.

Некоторые выводы

Исходя из вышеизложенного исследования можно сделать следующие выводы:

Высокая степень точности: Данный артефакт, предположительно относящийся к додинастическому Египту и имеющий возраст более 5000 лет, демонстрирует высокую точность конструкции: малые отклонения поверхностей, согласованность геометрических форм и выраженную симметрию.
Использование математических моделей: Проведённое исследование с применением математических методов выявило ряд интересных геометрических особенностей и возможный тщательно продуманный математический подход к созданию данного артефакта.
Золотое сечение: В пропорциях артефакта прослеживаются золотое сечение, математические и геометрические закономерности, что указывает на обширные знания и возможности в проектировании и изготовлении артефакта.
Изготовление артефакта: Данный артефакт изготовлен из розового гранита — очень твёрдого материала, что делает создание объекта с такими характеристиками, симметрией и пропорциями чрезвычайно сложной технической задачей.

Приглашаем к обсуждению данной статьи на странице обсуждения, где Вы можете оставить свои комментарии. Продолжение исследования можно прочитать в этой статье.

Используемые источники

Оригинальная статья: Initial Geometric Analysis of The Pre-Dynastic Vase
Исходная страница с данными исследования: Vase Scan Resources

Исходные файлы исследования

Характеристики артефакта
Отсканированная 3D модель артефакта: файл 1, файл 2